Os problemas mais antigos da matemática

Um número diz-se perfeito se ele é igual à soma dos seus divisores próprios, ou seja, menores que o próprio número. Por volta do ano 100, Nicômaco de Gerasa (c.60–c.120) afirmou que todo número perfeito é par e que existe uma quantidade infinita desses números. Até hoje ninguém provou nem desmentiu essas conjecturas: são os problemas não resolvidos mais antigos da matemática!

O teorema de Euclides-Euler afirma que os perfeitos pares são precisamente os números da forma N=2^p-1 (2^p –1) em que p é um primo de Mersenne, isto é, tal que 2^p–1 é primo. Então, a segunda conjectura quer dizer que haveria uma quantidade infinita de primos de Mersenne.

Em 1644, Marin Mersenne (1588–1648) afirmou que 2^p –1 é primo quando p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257. Ele não explicou como chegou a esses valores, e demoraram 300 anos para verificar que a lista correta é p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 e 127. A essa altura, em meados do século 20, já eram conhecidos 12 primos de Mersenne e, portanto, 12 números perfeitos.

Com o advento do computador, tudo mudou. Em 1952, Raphael Robinson (1911–1995) implementou computacionalmente o método LLT, um teste de primalidade específico para números de Mersenne desenvolvido por Édouard Lucas (1842–1891) e Henry Lehmer (1905–1991), e usou esse programa para encontrar os cinco primos de Mersenne seguintes. Desde então, todos foram calculados por esse método.

Mas nos anos 1990, quando já se conheciam trinta e poucos primos de Mersenne, eles estavam ficando grandes demais até para os supercomputadores mais potentes. Foi quando George Woltman, 66, teve a ideia de criar a Grande Busca na Internet por Primos de Mersenne (Gimps sigla em inglês), que distribui os cálculos por computadores em todo o mundo. Normalmente, a participação é voluntária, mas já me aconteceu de descobrir um pedaço da Gimps rodando no meu computador…

De 1996 para cá, todos os primos de Mersenne foram encontrados pela Gimps. Atualmente, são conhecidos 51: o maior é 2^82.589.933 –1, que tem 24.862.048 de dígitos. Não é um exercício puramente acadêmico: primos grandes são usados em criptografia.

Quanto aos perfeitos ímpares, são conhecidas muitas condições que tais números têm que satisfazer se existirem: por exemplo, têm que ter mais de 1.500 dígitos e não podem ser divisíveis por 105. Mas continua valendo a avaliação de Euler: "Saber se existem ou não números perfeitos ímpares é uma questão realmente difícil".

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